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Delta对冲的实例讲解及有效性分析

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Delta对冲的实例讲解及有效性分析

小师妹导读

本文对 Delta 对冲的有效性 进行了相关分析,文中的说明脱离了以往的限制,其意义在于, 将准确预测未来波动率这一几乎不可能完成的事情 ,转变为 只需要比较预测值与隐含波动率之间的大小关系 即可。

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01

假设标的资产的未来波动率为 30%,期权的隐含波动率为 40%,离到期日还有 20 天。因为期权隐含波动率比未来波动率高,所以应该在卖出期权的同时利用期货来对冲 Delta。假设期权是看涨期权,那么就需要买入期货进行对冲。 Delta 对冲 的方法如下。

(1)买入与卖出看涨期权 Delta 值相同的期货。

(2)随着市场的变化,看涨期权的 Delta 值也在变化。

(3)如果持仓的 Delta 值是正数则卖出期货,如果 Delta 值是负数则买入期货,将整体持仓的 Delta 对冲为 0。

在卖出看涨期权的时候,单张看涨期权合约的 Delta 值为 0.25,假设卖出 4 张看涨期权合约,则所有的看涨期权的 Delta 值为−1,那么此时买入一张期货合约就会使持仓的 Delta 值为 0。 如果标的资产上涨,看涨期权的 Delta 值就会增加。

假设看涨期权的价格从 0.25 元涨到 0.5 元,那么原来持仓的 Delta 值就会变成−1(−0.50×4 (卖出看涨期权张数)+1.0(买入一张期货合约)=−1.0),在这种情况下再买入一张期货合约就会使整体持仓的 Delta 值还原为 0。

Delta 对冲时间按一定的时间间隔进行,根据偏好可以设置 20 分钟、30 分钟、 60 分钟等时间间隔进。在进行计算时可能会有 Delta 数值不为整数的情况。 在实际交易中如要进行 Delta 对冲,不仅可以使用期货,还可以通过期权使得 Delta 值为 0, 这里我们只通过期货进行 Delta 对冲。

本例中 Delta 对冲的假设条件如下表所示。

标的资产价格 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 3500 元是指期初的标的资产价格。下面通过 B-S 期权理论模型来计算期权价格。假设未来波动率为 30%,那么期权的合理价格应该是 80.36 元。而隐含波动率又设为 40%,因此最初的看涨期权实际价格为 118.99 元。

由此可知看涨期权被高估了 38.63 元(118.99−80.36=38.63 元)。期初的标的资产价格虽然是 3500 元,但期货价格会在此价格加上到期前剩余时间的利息。

前面提到期货价格公式为 F=Ser × T/252≈S(1+r×T/252),那么根据公式可以得出,期初的标的资产价格与期货价格分别为 3500 元与 3511.13 元。在实盘交易中,期货价格的最小变动单位是 0.2,但为了计算方便将以 0.01 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 作为最小变动单位。

02

模拟实验(一)

Tr.Days 是交易天数;Tr.Hours 是交易日的交易时间;Minutes Delta对冲的实例讲解及有效性分析 是模拟股价生成的时间间隔,也是每次 Delta 对冲的时间间隔。如果 Tr.Days 是 20,Tr.Hours 是 4,Minutes 是 10,则一个交易日将会产生24(Tr.Hours×60/Minutes= 4×60/10=24)个数据,20 天就会有 480 个模拟标的资产、期货价格、期权价格。“未来实际”指未来波动率。 未来波动率预测值是 通过模拟的标的资产价格计算得出的。

隐含波动率虽然设置为 40%,但也可以根据偏好设置。预测值都是对到期之前的波动率进行预测的数据。 这些波动率的预测值对判断期权价格被高估/低估有非常重要的意义。

在期权交易中,需要各种各样的希腊值数据,计算这些数据最重要的参数就是波动率。其关键在于代入哪一种波动率,有些人代入 隐含波动率 ,有些人代入 历史波动率 。

后面的 Delta、Gamma、Theta 等希腊值的计算中我们将使用预测值的数据,比如,期初交易员将标的资产的波动率设置为 30%,那么在计算 Delta 等希腊值数据的时候就会将 30%代入 B-S 期权公式中。

“理论价格”是把未来波动率代入计算出来的理论价格,但并不是把预测值代入波动率公式计算出来的理论值。 用隐含波动率体现的市场价格与用未来波动率体现出的适当价格之间的差距对 Delta 对冲交易来说具有非常重要的意义。

03

在模拟实验中,假设隐含波动率为 40%,预测值为 30%,对应的是卖出看涨期权+买入期货组合。预测值与未来波动率完全吻合是非常少见的情况。如果 nPaths (表示至今为止反复模拟交易的次数)设置为 30,我们来看一下 30 个可能的股价路径中的某一个路径的标的资产变动与交易损益,如下图所示。

图中左边纵轴是标的资产价格,右边纵轴表示收益,损益曲线用点线表示, 标的资产价格用实线表示。标的资产价格从 3500 元开始到 4006.84 元结束。投资组合的收益在开始时为 0 元,到期时为 36.43 元。

看涨期权的行权价格是 3600 元,期权价格从 118.85 元涨到了到期日的 406.84 元(4006.84−3600=406.84 元)。因为是卖出看涨期权,所以大约有 288 点的亏损。这说明即使期权被高估,卖出期权也不一定就有收益。虽然期权有亏损,但由于同时买入了期货进行对冲,所以有 36.43 元的收益产生。

做此交易最初的原因是判断出未来标的资产波动率 30%比隐含波动率 40%小, 适合做卖出期权 。但交易员只是卖出了被高估的期权,利用标的资产或者期货每 10 分钟做一次 Delta 对冲,最初对交易员有利的 EDGE(表示市场价格与适当价格之间的差距)为 38.5。

如果不计手续费,到期日就会有 36.43 元的收益。虽然之间存在误差,但这只是单独列出某一条路径时才会发生的差异。当 nPaths 设置为 30 之后,对 30 条路径综合分析,就会发现平均收益为 38.09 元,与 EDGE 的 38.5 近似。而30 条路径的收益标准差为 3.28,也不是很大。

04

现在我们假设预测的标的资产波动率在到期日为 38%,预测值仍然比隐含波动率(40%)小 2%,因此也要使用卖出看涨期权+买入期货组合。与模拟交易 1 一样, 这里我们同样用 30 条路径中的一条进行分析,即也将 nPaths 设置为 30,如下所示。

这次的标的资产价格从 3500 开始到 3470.92 元结束。如果在卖出看涨期权后, 没有做 Delta 对冲,那么到期时会有 118.85 元的收益,但如果做了 Delta 对冲,就会有42.71 元的收益。30 条路径的平均收益是 37.93 元,与 EDGE Delta对冲的实例讲解及有效性分析 的 38.50 有差异。 与平均数基本上没有差异,但标准差为 11.64,相比模拟交易 1 的标准差 3.28 大了许多。

这样的差异是从哪里来的呢?模拟交易 1 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 的结果的前提是正确预测未来波动率为30%,因此各条路径的收益与 EDGE 没有太大出入。但在模拟交易 2 中将未来波动率预测为 38%,因此就算平均收益差不多,但各条路径的收益与 EDGE 之间产生比较大的差距。

把未来波动率分别设置成 30%与 38%的希腊值的比较结果如表所示。

当未来波动率为 30%时,Delta 为 0.40,当未来波动率为 38%时,Delta 为 0.43。如果卖出看涨期权 100 个合约,则需要分别买入 40 手和 43 手期货合约才能使整体持仓的 Delta 为 0。虽然是很小的差异,但 20 个交易日下来一定对损益有影响。

05

假设预测的标的资产波动率在到期日为 25%,将波动率 25%代入期权模型中求得各个希腊值,再用求得的 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 Delta 交易至到期日。因为预测值低于隐含波动率,所以同样使用卖出看涨期权+买入期货的方式交易。

如图所示,收益为 44.53 元。30 条路径的平均收益是 39.65 元,标准差是 9.68。平均收益与 EDGE(38.50)虽然相近,但标准差比较大。而且从图右上角的椭圆形区域中可以看出,越是临近到期日,收益曲线就越平。标的资产在临近到期日时,价格在3300 元到 3400 元之间波动。

由此可知行权价为 3600 元的看涨期权的价格已经基本为 0。看涨期权价格是 0 元,则说明其 Delta 值也趋近于 0。因此不需要用买入期货的方式将 Delta 对冲为 0。换句话说就是整个持仓实际已经为 0, 不会因为标的资产的价格波动带来任何损益。

模拟交易 1、2、3 的结果如表所示,这是用不同的波动率预测值对 30 条路径计算的结果,从表中可以看出平均收益与 EDGE(38.5)差不多。

这里虽然只提供了 3 种情况,但也可以从中了解到,预测值与未来波动率差异越大,其收益的标准差就会越大。这些模拟结果对我们有什么启示呢?可以重新解读预测未来波动率在交易中的重要程度。 如果已知未来波动率,则可以通过准确的 Delta Delta对冲的实例讲解及有效性分析 对冲将 EDGE 转化为收益,但未来波动率是无法被任何人预测的。

上表展示了当波动率预测值各为 25%、30%、38%时的平均损益。这里重要的不是预测值的具体数值,而是预测值在期初就比期权的隐含波动率 40%小这一事实。

表中的核心在于未来波动率的预测值与隐含波动率谁大谁小。精准预测未来波动率是一件很难完成的事情,但比较未来波动率的预测值与隐含波动率大小的关系就简单很多,只有两种可能性。但预测值的准确率越低,损益的标准差就越大。 如果交易次数较多,就会使平均收益向 EDGE 收敛。

以上说明都是对 Delta 对冲有效性的分析。以上的说明脱离了以往的限制,其意义在于,将准确预测未来波动率这一几乎不可能完成的事情,转变为只需要比较预测值与隐含波动率之间的大小关系即可。

期权卖方的事后风控:Delta 对冲的实例讲解及有效性分析


Tr.Days 是交易天数;Tr.Hours 是交易日的交易时间;Minutes 是模拟股价生成的时间间隔,也是每次 Delta 对冲的时间间隔。如果 Tr.Days 是 20,Tr.Hours 是 4,Minutes 是 10,则一个交易日将会产生24(Tr.Hours×60/Minutes= 4×60/10=24)个数据,20 天就会有 480 个模拟标的资产、期货价格、期权价格。“未来实际”指未来波动率。未来波动率预测值是 通过模拟的标的资产价格计算得出的。

后面的 Delta、Gamma、Theta 等希腊值的计算中我们将使用预测值的数据,比如,期初交易员将标的资产的波动率设置为 30%,那么在计算 Delta 等希腊值数据的时候就会将 30%代入 B-S 期权公式中。

“理论价格”是把未来波动率代入计算出来的理论价格,但并不是把预测值代入波动率公式计算出来的理论值。用隐含波动率体现的市场价格与用未来波动率体现出的适当价格之间的差距对 Delta 对冲交易来说具有非常重要的意义。

03

在模拟实验中,假设隐含波动率为 40%,预测值为 30%,对应的是卖出看涨期权+买入期货组合。预测值与未来波动率完全吻合是非常少见的情况。如果 nPaths (表示至今为止反复模拟交易的次数)设置为 30,我们来看一下 30 个可能的股价路径中的某一个路径的标的资产变动与交易损益,如下图所示。

图中左边纵轴是标的资产价格,右边纵轴表示收益,损益曲线用点线表示, 标的资产价格用实线表示。标的资产价格从 3500 元开始到 4006.84 元结束。投资组合的收益在开始时为 0 元,到期时为 36.43 元。

看涨期权的行权价格是 3600 元,期权价格从 118.85 元涨到了到期日的 406.84 元(4006.84−3600=406.84 元)。因为是卖出看涨期权,所以大约有 288 点的亏损。这说明即使期权被高估,卖出期权也不一定就有收益。虽然期权有亏损,但由于同时买入了期货进行对冲,所以有 36.43 元的收益产生。


做此交易最初的原因是判断出未来标的资产波动率 30%比隐含波动率 40%小, 适合做卖出期权。但交易员只是卖出了被高估的期权,利用标的资产或者期货每 10 分钟做一次 Delta 对冲,最初对交易员有利的 EDGE(表示市场价格与适当价格之间的差距)为 38.5。

如果不计手续费,到期日就会有 36.43 元的收益。虽然之间存在误差,但这只是单独列出某一条路径时才会发生的差异。当 nPaths 设置为 30 之后,对 30 条路径综合分析,就会发现平均收益为 38.09 元,与 EDGE 的 38.5 近似。而30 条路径的收益标准差为 3.28,也不是很大。

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现在我们假设预测的标的资产波动率在到期日为 38%,预测值仍然比隐含波动率(40%)小 2%,因此也要使用卖出看涨期权+买入期货组合。与模拟交易 1 一样, 这里我们同样用 30 条路径中的一条进行分析,即也将 nPaths 设置为 30,如下所示。

这次的标的资产价格从 3500 开始到 3470.92 元结束。如果在卖出看涨期权后, 没有做 Delta 对冲,那么到期时会有 118.85 元的收益,但如果做了 Delta 对冲,就会有42.71 元的收益。30 条路径的平均收益是 37.93 元,与 EDGE 的 38.50 有差异。 与平均数基本上没有差异,但标准差为 11.64,相比模拟交易 1 的标准差 3.28 大了许多。


这样的差异是从哪里来的呢?模拟交易 1 的结果的前提是正确预测未来波动率为30%,因此各条路径的收益与 EDGE 没有太大出入。但在模拟交易 2 中将未来波动率预测为 38%,因此就算平均收益差不多,但各条路径的收益与 EDGE 之间产生比较大的差距。

把未来波动率分别设置成 30%与 38%的希腊值的比较结果如表所示。


当未来波动率为 30%时,Delta 为 0.40,当未来波动率为 38%时,Delta 为 0.43。如果卖出看涨期权 100 个合约,则需要分别买入 40 手和 43 手期货合约才能使整体持仓的 Delta 为 0。虽然是很小的差异,但 20 个交易日下来一定对损益有影响。

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假设预测的标的资产波动率在到期日为 25%,将波动率 25%代入期权模型中求得各个希腊值,再用求得的 Delta 交易至到期日。因为预测值低于隐含波动率,所以同样使用卖出看涨期权+买入期货的方式交易。

如图所示,收益为 44.53 元。30 条路径的平均收益是 39.Delta对冲的实例讲解及有效性分析 65 元,标准差是 9.68。平均收益与 EDGE(38.50)虽然相近,但标准差比较大。而且从图右上角的椭圆形区域中可以看出,越是临近到期日,收益曲线就越平。标的资产在临近到期日时,价格在3300 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 元到 3400 元之间波动。

由此可知行权价为 3600 元的看涨期权的价格已经基本为 0。看涨期权价格是 0 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 元,则说明其 Delta 值也趋近于 0。因此不需要用买入期货的方式将 Delta 对冲为 0。换句话说就是整个持仓实际已经为 Delta对冲的实例讲解及有效性分析 0, 不会因为标的资产的价格波动带来任何损益。


模拟交易 1、2、3 的结果如表所示,这是用不同的波动率预测值对 30 条路径计算的结果,从表中可以看出平均收益与 EDGE(38.5)差不多。


这里虽然只提供了 3 种情况,但也可以从中了解到,预测值与未来波动率差异越大,其收益的标准差就会越大。这些模拟结果对我们有什么启示呢?可以重新解读预测未来波动率在交易中的重要程度。如果已知未来波动率,则可以通过准确的 Delta 对冲将 EDGE 转化为收益,但未来波动率是无法被任何人预测的。

上表展示了当波动率预测值各为 25%、30%、38%时的平均损益。这里重要的不是预测值的具体数值,而是预测值在期初就比期权的隐含波动率 40%小这一事实。

表中的核心在于未来波动率的预测值与隐含波动率谁大谁小。精准预测未来波动率是一件很难完成的事情,但比较未来波动率的预测值与隐含波动率大小的关系就简单很多,只有两种可能性。但预测值的准确率越低,损益的标准差就越大。 如果交易次数较多,就会使平均收益向 EDGE 收敛。

以上说明都是对 Delta 对冲有效性的分析。以上的说明脱离了以往的限制,其意义在于,将准确预测未来波动率这一几乎不可能完成的事情,转变为只需要比较预测值与隐含波动率之间的大小关系即可。

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期权套保策略特征分析

上图横坐标为收益标准差,纵坐标为收益率,其中I1、I2 、I3 分别代表某风险厌恶投资者的三条无差异曲线(Indifferent Curve),即投资的风险越高,投资者需要更高的收益率作为补偿。通过引入期权对投资策略调整,在风险增加时,持有的期权由于波动率增加而升值,提供额外收益率。例如当波动率从20%提高到30%的时候,投资者的效用从O点移动至A点,投资者的效用曲线由I1下降至I2,相当于在原有风险情况下,收益率下降了2%左右(这里假设A=0.8,A一般小于1),价内期权的波动率弹性在1左右,即波动率提高10%,期权的价值一般也会提高10%左右,而对冲策略中权利金一般占组合的10%左右,即10%的波动率增加最终导致套保组合收益提高1%左右。因此,期权的使用令原本处于A点的效用上升至A’,即在波动率不利变化的情况下,投资者满意的程度下降较小。同理,当波动率从20%下降的10%的时候,投资者效用本应上升至B点,期权作用时起下降至B’,即在波动率朝有利方向变化的情况下,投资者满意的程度提升较小。可见期权不但可以在收益方面对冲,还可以在风险方面对冲。

等量对冲策略:在美国最常用的两种套保的策略就是备兑看涨期权组合(以下简称Covered Call)和保护看跌期权组合(以下简称Protective Put),这两种策略的特点是简单、直观,分别通过做空看涨期权和买入看跌期权来对冲标的的市场风险,其对冲手数比例都是固定的1:1(为了描述方便,这里不考虑期权乘数)。

Protective Put的相对于Covered Call的优势在于保护效果更好,同时整个收益曲线随标的价格呈凸性正相关,也就是具有获利时加速、亏损时减速的特点,而其代价就是要承受持有期权的时间价值损耗;另外Protective Put有做多波动率的特性。

Covered Call的特点正好与Protective Put相反:优势在于在提供套保功能的同时,可以获得期权时间价值。缺点就是保护效果较差,即整个收益曲线随标的价格呈凹性正相关,也就是具有获利时减速、亏损时加速的特点,另外Covered Call有做空波动率的特性。综上,Covered Call更适合于相对激进一些的套保者,他们希望承担部分风险来换取权利金方面的收益,同时也希望未来标的波动更平淡。

排除其他因素的影响,Covered Call的收益率与标的价格的关系如下图所示,其中每一条曲线分别代表用不同的类型的看涨期权。从套保效果上来看,我们希望策略的收益率尽量的平坦,因此近月价内看涨期权的效果最好,而近月价外期权效果最差,近月期权的蒸发率较高,有利于Covered Call,本文之后也只讨论近月价内看涨期权的套保组合。下图横坐标为标的价格,纵坐标为策略收益率。

下表可以看出,等量对冲策略能够有效的对冲掉部分多头的风险,当标的下跌5%的时候Protective Put组合价值下降1.70%,Covered Call组合价值下降1.88%;而当标的上升5%的时候,Protective Put组合价值上升2.30%,Covered Call组合价值上升0.Delta对冲的实例讲解及有效性分析 91%。可见在较小波动范围中,Covered Call对冲效果较好,主要原因是小范围内价内看涨期权对冲效果较好;而当波动范围较大的时候,Protective Put的优势就表现出来了,主要是因为Protective Put的凸性;另外这是不考虑时间变化的影响结果,而随着时间的流逝,Covered Call会产生额外的收益。

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