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外汇交易及资金管理

期权定价方法之B-S模型

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Samuel.T.Lee

1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

(一)B-S模型有5个重要的假设
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式

第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次,而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0853,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100365=0.274。

B-S定价模型的推导与运用

(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:

其中,E[G]—看涨期权到期期望值

其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(期权定价方法之B-S模型 ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:

首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值,即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布,即1NSTS~N(μT,σT2),所以E[1N(STS]=μT,STS~EN(μT,σT2)可以证明,相对价格期望值大于EμT,为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而,μT=T(γ-σ22),且有σT=σT

其次,求(ST>L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三,求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围,所以,

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后,将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

(三)看跌期权定价公式的推导

B-S模型的发展、股票分红

B-S模型的影响

自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后,芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性,很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天,该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率,但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖,不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善,但是随着改革的深入和向国际化靠拢,资本市场将不断发展,汇兑制度日渐完善,企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此,对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的,对衍生市场进行探索也是必要的,我们才刚刚起步。

二项期权定价模型

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

二项期权定价模型(binomal option price model,SCRR Model,BOPM)

  • 1 二项期权定价模型概述
  • 2 构建二项式期权定价模型
  • 3 二叉树思想
  • 4 相关条目

二项期权定价模型概述

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。

构建二项式期权定价模型

1973年,布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式,对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后,罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年,罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”,提出了风险中性定价理论。

1979年,罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价:一种简单的方法”,该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法,被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型

一般来说,二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个,即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时,能建立起一个零风险套头交易,或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值,该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价 格;反之,如果存在套利机会,投资者则可以买两种产品种价格便宜者,卖出价格较高者,从而获得无风险收益,当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一 证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是,期货的套头交易一旦建立就不用改变,而期权的套头交易则需不断调整,直至期权到期。

二叉树思想

1:Black-Scholes方程模型优缺点:

Se rΔt = pSu + (1 − p)Sd (23)

即:e^{r\Delta t}=pu+(1-p)d=E(S) (24)

\delta S~N(rS\Delta t,\sigma S\sqrt{\Delta t}

(25)

=>D(S) = σ 2 S 2 δt

利用D(S) = E(S 2 ) − (E(S)) 2

E(S 2 ) = p(Su) 2 + (1 − p)(Sd) 2

=>σ 2 S 2 Δt = p(Su) 2 + (1 − p)(Sd) 2 − [pSu + (1 − p)Sd] 2

=>σ 2 Δt = p(u) 2 + (1 − p)(d) 2 − [pu + (1 − p)d] 2 (26)

\begin{cases}u=e^{\sqrt[\sigma]{\delta t}} (28)\\d=e^{-\sqrt[\sigma]{\delta t}} (29)\\p=\frac{a-d}{u-d} (30)\end{cases}

其中:a = e rδt

风险中性定价理论概述

风险中性理论(又称风险中性定价方法 Risk Neutral Pricing Theory )表达了资本市场中的这样的一个结论:即在市场不存在任何套利可能性的条件下,如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券,那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量,尤其是期望收益率。

关于这个原理,有着一些不同的解释,从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先,在风险中性的经济环境中,投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬,所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率;其次,正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬,市场的贴现率也恰好等于无风险利率,所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值;最后,利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅(Martingle)。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法(Martingale Pricing Technique)。

期权定价方法之B-S模型

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A new option pricing method: Based on the perspective of sub-mixed fractional Brownian motion

Received Published
2019-12-19 2021-11-25
Issue Date
2021-11-25

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【兴业定量任瞳团队】期权每日一策(肆拾柒):蒙特卡罗方法在期权定价中的运用

蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到定价产品期望价值,并将此期望价值贴现至现在时点来估计衍生品价格的数值方法。蒙特卡罗模拟进行衍生产品定价的核心在于生成标的价格的随机过程,如股价运动服从的伊藤过程,利率在Hull-White模型下服从的随机游走,只要给出具体表达式即可模拟。简单来说,就是重复产生随机样本,经过尽可能多次的模拟之后再得到平均值的方法。下面以股票价格为例进行说明:蒙特卡罗模拟随机产生一组股价的样本值,即模拟实验。在产生足够多样本值后,模拟实验的代数平均数常用来估计期权的收益分布期望值,然后用无风险利率对其贴现来得到衍生品的价格。蒙特卡罗模拟的实质是模拟标的变量的随机运动,预测其衍生品的平均回报,并由此得到衍生品价格的概率解。

蒙特卡罗的优点在于可以对各种复杂衍生产品进行定价,思想较为直接,但是蒙特卡罗有时收敛较慢,当设置的路径条数较多时会影响定价的效率。

BS期权定价模型学习笔记 2020-11-20

期权是金融衍生产品,分为看涨期权(call option)与看跌期权(put option)两类,两种期权又都根据买卖角色分为买入和卖出,因此一共细分为四类:买入看涨期权(long call),卖出看涨期权(short call),买入看跌期权(long put),卖出看跌期权(short put)。拿call option说明(put option就是反向操作),long call与short call就是我们常说的对手盘,或者对赌盘。买方跟卖方拟定一张合约,写明买方可以在哪一天以多少价格向卖方买入哪只股票,买方具有权利而没有义务,即可以撕约,而卖方具有义务,即如果买方要履约,卖方必须执行。可以看出,卖买双方的权利是不对等的,因此,在合约拟定的时候,买方以每股为单位向卖方支付对应的权益金

而每一股应该支付多少权益金,即期权定价,也是BS期权定价模型要做的事

2.鞅论与如何期权定价

说说它在金融学里面的应用,我们知道同一份资产他的当前价值跟未来价值是不一样的,比如我放银行里100块钱,一年后它算上利息可能就是101块。那反推之,未来价值S(T)的资产,它就有一个对应的当前价值S(0)即为鞅。若年利率R,就有

因此未来资产的折现价就是

r即连续复利率,也就是BS计算公式里的r。因此,就有了BS定价模型的核心思想:期权价格应该是行权日收益期望对应的折现价

3.布朗运动与伊藤引理

得到上一节的原型之后,接下来的问题其实就变成求解S(t)期权定价方法之B-S模型 的表达式,进而才有机会得到E(S(T) - K)(S(T) > K)的期望。(r可以根据年化率进行换算得到,K是定值)。但股票走势本身就是不可预测的,期望又如何计算呢?因此,BS模型给出了自己框架中核心的假设:

处于风险中等测度,股票收益率变化符合随机微分方程(网上有些资料也说股票收益率满足对数正态分布,是一个意思)

从现在开始,我们要一点一点把高数跟概率论的一些基础知识捡回来一些。那什么是随机微分方程,先从布朗运动说起, 布朗运动简单概括:起始位置为0,任意△t内,运动的分布满足期望为0,方差为△t的正态分布N(0,△t)。
而后,人们对布朗运动进行了延伸,得到了一个带漂移量的布朗运动:

随机微分方程从字面上理解,即该随机过程的瞬时增量可以拆分为一个稳定增量+布朗运动随机增量。而BS的模型的核心假设即收益率增量满足随机微分方程为

我觉得这里比较容易弄错的是增量是指收益率增量,而非收益增量,这个是符合常识的,因为随着股价价格不同,瞬时的价格变化肯定是不同的,说的极端一点,三千美元一股的亚马逊瞬时都以元变化,而几十美元的蔚来还只能以分变化,而收益率能刨除股价这个因素,这也是为什么我们看的分时图所标记的涨跌幅都是百分比,而非实际价格。

这里就要敲黑板了,若f(t, W(t))为包含了布朗运动连续平滑函数,布朗运动包含跳变的,在经典微积分体系里就是处处不可微,也就是说ln(S(t))并不能这样微分。
因此,到这里就轮到我们的伊藤引理出场了,伊藤引理即对一个包含布朗运动随机过程的连续平滑函数f(t, 期权定价方法之B-S模型 B(t))进行微分,也就是能对上述ln(S(t))这种函数进行微分

这里就不细讲伊藤引理的推导过程了,大概的过程:我们知道一个函数的微分,根据泰勒公式可以展开为一阶导与增量的乘积 + 二阶导与增量平方与系数的乘积+…,增量趋近于无穷小,二阶导及以后项均可忽略,即传统微积分里面的函数的微分等于一阶导与增量的乘积,但是随机微分方程的泰勒展开中,由于二次变分,当增量无穷小dB的平方等于dt,泰勒展开的第二项不可抹去,最后就有了